Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 13, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Rozwiąż równanie**
\[(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0.\]
Odpowiedź
\[x\in\{1-\sqrt3,\ 1-\sqrt2,\ 1+\sqrt2,\ 1+\sqrt3\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawiamy \(z=(x-1)^2\), gdzie \(z\ge0\). Otrzymujemy
\[z^2-5z+6=0,\qquad (z-2)(z-3)=0,\]
więc \(z=2\) lub \(z=3\). Zatem
\[(x-1)^2=2\quad\text{lub}\quad(x-1)^2=3,\]
co daje \(x=1\pm\sqrt2\) lub \(x=1\pm\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wszystkie cztery rozwiązania: \(1\pm\sqrt2\), \(1\pm\sqrt3\)
**2 pkt** – rozwiązanie \(z^2-5z+6=0\) i zapisanie równań \((x-1)^2=2\), \((x-1)^2=3\), albo poprawne dokończenie jednej z tych gałęzi
**1 pkt** – odpowiednie podstawienie i uzyskanie równania \(z^2-5z+6=0\), gdzie \(z\ge0\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.2 dostrzeganie regularności i analogii.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5 rozwiązywanie równań sprowadzalnych do równania kwadratowego, w szczególności równań dwukwadratowych.
