Liczby rzeczywiste
Zadanie 14, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).**
Odpowiedź
Dla każdego \(n\in\mathbb N\) reszta z dzielenia \(20n^2+30n+7\) przez \(5\) jest równa \(2\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przekształcamy
\[20n^2+30n+7=5(4n^2+6n+1)+2.\]
Dla \(n\in\mathbb N\) liczba \(4n^2+6n+1\) jest całkowita, a \(0\le2<5\). Z definicji reszty z dzielenia badana liczba daje więc resztę \(2\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełny dowód: postać \(5(4n^2+6n+1)+2\) i stwierdzenie, że \(4n^2+6n+1\) jest całkowite
**1 pkt** – uzyskanie postaci \(5(4n^2+6n+1)+2\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV.1 przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
I.2 proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
