Zadanie 53 – zbiór zadań z informatora CKE 2010, poziom mieszany

\(x\in[-7,1]\)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa. Standardowa droga: wszystkie wyrazy po jednej stronie (tu już tak jest), obliczenie miejsc zerowych trójmianu \(x^{2}+6x-7\), szkic paraboli i odczytanie z niego tych \(x\), dla których wykres leży poniżej osi lub na niej. **Krok \(2\).** Współczynniki: \(a=1\), \(b=6\), \(c=-7\). Liczymy wyróżnik: \[\Delta=6^{2}-4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64.\] Ponieważ \(\Delta \gt 0\), trójmian ma dwa miejsca zerowe, a \(\sqrt{\Delta}=8\). **Krok \(3\).** Miejsca zerowe: \[x_1=\frac{-6-8}{2}=\frac{-14}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-6+8}{2}=\frac{2}{2}=1.\] (Można je też odgadnąć z rozkładu \(x^{2}+6x-7=(x+7)(x-1)\).) **Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^{2}\) jest równy \(1\), czyli dodatni — ramiona paraboli są skierowane **w górę**. **Krok \(5\).** Parabola o ramionach w górę przyjmuje wartości ujemne **między** miejscami zerowymi, a dodatnie na zewnątrz. Szukamy wartości niedodatnich, więc bierzemy fragment od \(-7\) do \(1\). **Krok \(6\).** Nierówność jest nieostra (\(\leqslant\)), więc miejsca zerowe również ją spełniają i przedział jest domknięty: \[x\in[-7,1].\] **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=0\) mamy \(0+0-7=-7\), a więc wartość niedodatnia (należy); dla \(x=2\) mamy \(4+12-7=9\), wartość dodatnia (nie należy). **Uwaga.** Kolejność liczb w przedziale: mniejsza z lewej, czyli \([-7,1]\), a nie \([1,-7]\). Znak \(\leqslant\) oznacza „mniejsze lub równe”, więc nawiasy muszą być kwadratowe. **Odpowiedź.** \(x\in[-7,1]\)

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* Odpowiedź CKE: \(x\in[-7,1]\)

Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.