Nierówności
Zadanie 20, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie \(5x^4-13=0\)?
**A.** \(1\)
**B.** \(2\)
**C.** \(3\)
**D.** \(4\)
Odpowiedź
**B.** \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W równaniu występuje tylko jedna potęga niewiadomej, i to parzysta. Takie równanie rozwiązujemy, wyznaczając najpierw \(x^{4}\), a potem pamiętając, że parzysta potęga daje parę liczb przeciwnych.
**Krok \(2\).** Przenosimy wyraz wolny i dzielimy przez \(5\):
\[5x^{4}=13,\qquad x^{4}=\frac{13}{5}.\]
**Krok \(3\).** Po prawej stronie stoi liczba dodatnia, więc rozwiązania istnieją. Gdyby wyszła liczba ujemna, równanie nie miałoby rozwiązań rzeczywistych, bo czwarta potęga liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemna.
**Krok \(4\).** Rozwiązujemy \(x^{4}=\frac{13}{5}\). Liczby przeciwne mają równe czwarte potęgi, więc otrzymujemy dwie liczby:
\[x=\sqrt[4]{\frac{13}{5}}\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt[4]{\frac{13}{5}}.\]
**Krok \(5\).** Można to zobaczyć też przez podstawienie \(t=x^{2}\): równanie \(5t^{2}=13\) daje \(t^{2}=\frac{13}{5}\), a ponieważ \(t=x^{2}\geqslant 0\), zostaje jedno dopuszczalne \(t=\sqrt{\frac{13}{5}}\). Z równania \(x^{2}=\sqrt{\frac{13}{5}}\) wychodzą dokładnie dwie liczby przeciwne.
**Krok \(6\).** Rozwiązań rzeczywistych jest zatem dwa.
**Uwaga.** Nie trzeba obliczać wartości pierwiastka — pytanie dotyczy liczby rozwiązań, a nie ich wartości. Warto natomiast zapamiętać schemat: dla \(a\gt 0\) równanie \(x^{4}=a\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste, dla \(a=0\) jedno, a dla \(a\lt 0\) nie ma żadnego.
**Odpowiedź.** B. \(2\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź: B.
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Równania i nierówności.
