Równania i nierówności
Zadanie 10, sierpień 2025, poziom podstawowy
Suma wszystkich rozwiązań równania \((3x-12)(10+5x)(x-3)=0\) jest równa
**A.** \(-5\)
**B.** \(-1\)
**C.** \(5\)
**D.** \(9\)
Odpowiedź
**C.** Rozwiązaniami są \(x=4\), \(x=-2\) oraz \(x=3\). Ich suma wynosi \(4-2+3=5\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać równania: lewa strona jest iloczynem trzech czynników, a prawa jest zerem. Iloczyn równa się zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem, więc rozbijamy zadanie na trzy proste równania liniowe.
**Krok \(2\).** Pierwszy czynnik:
\[3x-12=0\ \Longrightarrow\ 3x=12\ \Longrightarrow\ x=4.\]
**Krok \(3\).** Drugi czynnik:
\[10+5x=0\ \Longrightarrow\ 5x=-10\ \Longrightarrow\ x=-2.\]
**Krok \(4\).** Trzeci czynnik:
\[x-3=0\ \Longrightarrow\ x=3.\]
**Krok \(5\).** Zbieramy rozwiązania: \(x=4\), \(x=-2\), \(x=3\). Są trzy różne, więc każde liczymy raz.
**Krok \(6\).** Sumujemy je:
\[4+(-2)+3=5.\]
**Uwaga.** Sumujemy **rozwiązania**, a nie liczby stojące w nawiasach — dodanie \(12\), \(10\) i \(3\) prowadzi na manowce. Uważaj też na znak przy drugim czynniku: z \(10+5x=0\) wychodzi \(x=-2\), a nie \(x=2\).
**Odpowiedź.** C: \(5\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.
