Równania i nierówności
Zadanie 7, sierpień 2024, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[x^3+5x^2-2x-10=0.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x\in\{-5,-\sqrt2,\sqrt2\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy:
\[x^3+5x^2-2x-10=x^2(x+5)-2(x+5).\]
Wyłączamy wspólny czynnik:
\[(x+5)(x^2-2)=0.\]
Stąd
\[x+5=0\quad\text{lub}\quad x^2-2=0,\]
czyli
\[x=-5\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt2\quad\text{lub}\quad x=\sqrt2.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i obliczenie wszystkich rozwiązań: \(-5,-\sqrt2,\sqrt2\)
**2 pkt** – sprowadzenie lewej strony do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego i rozwiązanie jednego z równań albo równoważny zaawansowany etap
**1 pkt** – zapisanie postaci \(x^2(x+5)-2(x+5)\), wyznaczenie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się sprowadzić do postaci iloczynowej.
