Nierówności
Zadanie 8, sierpień 2023, poziom podstawowy
Równanie \((x^{2}-3x)(x^{2}+1)=0 w\) zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A. jedno rozwiązanie
B. dwa rozwiązania
C. trzy rozwiązania
D. cztery rozwiązania
Odpowiedź
B. Dwa rozwiązania
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Lewa strona jest zapisana jako iloczyn dwóch nawiasów. Nie wymnażamy ich - korzystamy z reguły: iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden** z czynników jest równy zeru. Rozbijamy więc zadanie na dwa prostsze równania.
**Krok \(2\).** Pierwszy czynnik:
\[x^2-3x=0.\]
Wyłączamy \(x\) przed nawias: \(x(x-3)=0\), skąd \(x=0\) lub \(x=3\). Mamy dwa rozwiązania.
**Krok \(3\).** Drugi czynnik:
\[x^2+1=0,\qquad x^2=-1.\]
Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc \(x^2+1\geq 1\gt 0\) - to równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
**Krok \(4\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(x=0\) i \(x=3\), czyli dokładnie dwa.
**Uwaga.** Nie sugeruj się tym, że po wymnożeniu powstałby wielomian stopnia czwartego. Stopień mówi tylko, ile **najwyżej** może być pierwiastków - tu czynnik \(x^2+1\) nie daje żadnego.
**Odpowiedź.** B: dwa rozwiązania
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 8.
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2023 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
