Nierówności
Zadanie 5, sierpień 2021, poziom podstawowy
Liczba −\(2\) jest rozwiązaniem równania
A. \(x^{2}+4=0\)
B. \(\frac{(x+2)}{2}=1\)
C. \(\frac{x}{(x+2)}=0\)
D. \(x^{2}(x+2)+2(x+2)=0\)
Odpowiedź
D. \(x^{2}(x+2)+2(x+2)=0\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pytanie „która z równości ma dane rozwiązanie” nie wymaga rozwiązywania żadnego z równań. Wystarczy podstawić \(x=-2\) do kolejnych wzorów i sprawdzić, w którym równość jest prawdziwa. Trzeba tylko pamiętać o dziedzinie, gdy pojawi się ułamek.
**Krok \(2\).** Odpowiedź A: \((-2)^2+4=4+4=8\). Otrzymujemy \(8\neq0\), więc \(-2\) nie jest rozwiązaniem.
**Krok \(3\).** Odpowiedź B: \(\frac{-2+2}{2}=\frac{0}{2}=0\). Powinno wyjść \(1\), a wyszło \(0\), więc też nie.
**Krok \(4\).** Odpowiedź C: mianownik \(x+2\) dla \(x=-2\) jest równy \(0\). Liczba \(-2\) nie należy do dziedziny tego równania, więc nie może być jego rozwiązaniem — nawet nie sprawdzamy licznika.
**Krok \(5\).** Odpowiedź D:
\[(-2)^2\cdot(-2+2)+2\cdot(-2+2)=4\cdot0+2\cdot0=0.\]
Równość \(0=0\) jest prawdziwa, więc \(-2\) spełnia to równanie.
**Krok \(6\).** Widać to też bez rachunków, jeśli wyłączyć wspólny czynnik:
\[x^2(x+2)+2(x+2)=(x+2)(x^2+2),\]
a nawias \(x+2\) zeruje się dokładnie dla \(x=-2\).
**Uwaga.** Odpowiedź A bywa zaznaczana odruchowo, bo „\(x^2=-4\) daje \(x=-2\)” — to nieprawda: \((-2)^2=4\), a równanie \(x^2+4=0\) nie ma rozwiązań rzeczywistych. W odpowiedzi C licznik faktycznie nie jest zerem, ale rozstrzyga to, że zeruje się mianownik i wyrażenie traci sens.
**Odpowiedź.** D: \(x^{2}(x+2)+2(x+2)=0\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 5.
Klucz CKE dla terminu poprawkowego 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
