Nierówności
Zadanie 26, sierpień 2019, poziom podstawowy
( ) ( )
Rozwiąż równanie \(x^{2} -16 x^{3} -1 = 0\) .
Odpowiedź
\(x\in\{-4,1,4\}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Równanie ma postać iloczynu dwóch nawiasów przyrównanego do zera:
\[(x^{2}-16)(x^{3}-1)=0.\]
Nie mnożymy nawiasów przez siebie. Korzystamy z zasady: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się przynajmniej jeden czynnik. Rozbijamy więc zadanie na dwa prostsze równania.
**Krok \(2\).** Pierwszy czynnik:
\[x^{2}-16=0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}=16.\]
Liczba podniesiona do kwadratu daje \(16\) w dwóch przypadkach, więc
\[x=4\qquad\text{lub}\qquad x=-4.\]
(To samo wyjdzie z rozkładu \(x^{2}-16=(x-4)(x+4)\).)
**Krok \(3\).** Drugi czynnik:
\[x^{3}-1=0\quad\Longrightarrow\quad x^{3}=1.\]
Sześcian liczby ujemnej jest ujemny, a sześcian liczby większej od \(1\) jest większy od \(1\), więc jedyną liczbą rzeczywistą o sześcianie równym \(1\) jest
\[x=1.\]
**Krok \(4\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby:
\[x=-4,\qquad x=1,\qquad x=4.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy każdą w wyjściowym równaniu: dla \(x=-4\) pierwszy nawias to \(16-16=0\); dla \(x=4\) tak samo; dla \(x=1\) drugi nawias to \(1-1=0\). W każdym przypadku iloczyn jest zerem.
**Uwaga.** Warto zauważyć różnicę między potęgą parzystą a nieparzystą: równanie \(x^{2}=16\) ma **dwa** rozwiązania, a \(x^{3}=1\) tylko **jedno**. Dopisanie do rozwiązania liczby \(-1\) byłoby błędem, bo \((-1)^{3}=-1\).
**Odpowiedź.** \(x\in\{-4,\,1,\,4\}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: rozwiązanie jednego z równań czynnikowych. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 26.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
