Nierówności
Zadanie 27, sierpień 2018, poziom podstawowy
( ) ( )
Rozwiąż równanie \(x^{3} + 27 x^{2} -16 = 0\) .
Odpowiedź
x∈{−\(4\),−\(3\),\(4\)}
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Równanie ma postać iloczynu dwóch czynników przyrównanego do zera:
\[\left(x^3+27\right)\left(x^2-16\right)=0.\]
Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem — nic nie mnożymy i nic nie rozwijamy, tylko rozbijamy zadanie na dwa proste równania.
**Krok \(2\).** Pierwszy czynnik:
\[x^3+27=0,\qquad x^3=-27.\]
**Krok \(3\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(-27\). Ponieważ \((-3)^3=-27\), mamy \(x=-3\) i jest to jedyne rozwiązanie tego równania (funkcja \(x\mapsto x^3\) jest różnowartościowa, więc nie ma drugiej takiej liczby).
**Krok \(4\).** Drugi czynnik:
\[x^2-16=0,\qquad x^2=16.\]
**Krok \(5\).** Tu rozwiązania są dwa, bo kwadrat liczby i liczby do niej przeciwnej jest taki sam:
\[x=4\qquad\text{lub}\qquad x=-4.\]
(Można też rozłożyć: \(x^2-16=(x-4)(x+4)\).)
**Krok \(6\).** Zbieramy wszystkie znalezione liczby — każda z nich zeruje przynajmniej jeden czynnik, więc każda spełnia równanie.
**Uwaga.** Częsty błąd to potraktowanie obu czynników tak samo i napisanie \(x=\pm3\) w pierwszym albo tylko \(x=4\) w drugim. Przy nieparzystej potędze rozwiązanie jest jedno, przy parzystej — dwa (o ile prawa strona jest dodatnia).
**Odpowiedź.** \(x=-4\), \(x=-3\) lub \(x=4\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: rozwiązanie jednego równania czynnikowego. 2 pkt: wszystkie rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 27.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
