Nierówności
Zadanie 27, sierpień 2014, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[x^3-6x^2-11x+66=0.\]
Odpowiedź
\(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy równanie wielomianowe stopnia trzeciego. Na poziomie podstawowym rozwiązuje się je przez rozkład na czynniki, a najczęściej działa metoda grupowania: łączymy wyrazy w pary tak, aby z każdej pary wyszedł ten sam nawias. Podpowiedzią jest to, że \(66=6\cdot 11\), a przy \(x^{2}\) stoi \(-6\).
**Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:
\[x^{3}-6x^{2}-11x+66=\left(x^{3}-6x^{2}\right)+\left(-11x+66\right).\]
**Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^{2}\), z drugiej \(-11\):
\[x^{2}(x-6)-11(x-6).\]
Pojawił się wspólny nawias \((x-6)\) — to znak, że grupowanie wykonaliśmy dobrze.
**Krok \(4\).** Wyłączamy \((x-6)\) przed nawias i zapisujemy równanie w postaci iloczynowej:
\[(x-6)\left(x^{2}-11\right)=0.\]
**Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem:
\[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x^{2}-11=0.\]
**Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=6\). Drugie zapisujemy jako \(x^{2}=11\), skąd
\[x=\sqrt{11}\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt{11}.\]
**Krok \(7\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(-\sqrt{11}\), \(\sqrt{11}\) oraz \(6\).
**Uwaga.** Z równania \(x^{2}=11\) wychodzą dwa rozwiązania — najczęstszy błąd polega na zapisaniu tylko \(x=\sqrt{11}\) i zgubieniu liczby przeciwnej. Liczba \(\sqrt{11}\) nie upraszcza się i tak zostaje w odpowiedzi (dla orientacji \(\sqrt{11}\approx 3{,}32\)).
**Odpowiedź.** \(x\in\{-\sqrt{11},\ \sqrt{11},\ 6\}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: rozkład (x−6)(x²−11)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
