Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 28, sierpień 2014, poziom podstawowy
Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\).
Odpowiedź
Teza została wykazana: suma jest podzielna przez \(24\).
Rozwiązanie krok po kroku
Trzy kolejne liczby naturalne parzyste zapisujemy jako \(2n\), \(2n+2\), \(2n+4\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną.
Rozwijamy sześciany:
\[(2n)^{3}=8n^{3},\]
\[(2n+2)^{3}=8n^{3}+24n^{2}+24n+8,\]
\[(2n+4)^{3}=8n^{3}+48n^{2}+96n+64.\]
Po dodaniu
\[(2n)^{3}+(2n+2)^{3}+(2n+4)^{3}=24n^{3}+72n^{2}+120n+72=24\left(n^{3}+3n^{2}+5n+3\right).\]
Liczba w nawiasie jest całkowita, więc cała suma jest wielokrotnością \(24\).
**Odpowiedź.** Suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \(24\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne zapisanie sumy i jej przekształcenie. 2 pkt: pełny dowód podzielności przez 24.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Wyrażenia algebraiczne.
