Nierówności
Zadanie 26, sierpień 2014, poziom podstawowy
Rozwiąż nierówność
\[-x^2-5x+14<0.\]
Odpowiedź
x ∈ (−∞, −\(7\)) ∪ (\(2\), ∞)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa, ale współczynnik przy \(x^2\) jest ujemny. Najwygodniej pomnożyć obie strony przez \(-1\), pamiętając o zmianie zwrotu nierówności, i dalej pracować ze zwykłą parabolą o ramionach do góry.
**Krok \(2\).** Mnożymy \(-x^2-5x+14\lt 0\) przez \(-1\):
\[x^2+5x-14\gt 0.\]
**Krok \(3\).** Liczymy wyróżnik dla \(a=1\), \(b=5\), \(c=-14\):
\[\Delta=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,\qquad \sqrt{\Delta}=9.\]
**Krok \(4\).** Wyznaczamy miejsca zerowe:
\[x_1=\frac{-5-9}{2}=-7,\qquad x_2=\frac{-5+9}{2}=2.\]
**Krok \(5\).** Ramiona paraboli \(y=x^2+5x-14\) są skierowane do góry, więc wartości dodatnie przyjmuje ona poza przedziałem wyznaczonym przez pierwiastki. Stąd
\[x\in(-\infty,-7)\cup(2,\infty).\]
**Uwaga.** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną trzeba odwrócić jej zwrot. Można też w ogóle nie mnożyć: parabola \(y=-x^2-5x+14\) ma ramiona do dołu i te same miejsca zerowe \(-7\) i \(2\), a wartości ujemne przyjmuje na zewnątrz przedziału \((-7,2)\), czyli wynik jest identyczny.
**Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-7)\cup(2,\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie miejsc zerowych −7 i 2. 2 pkt: poprawna suma otwartych przedziałów.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2014 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
