Nierówności
Zadanie 27, sierpień 2013, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[x^3-6x^2-12x+72=0.\]
Odpowiedź
\(x=-2\sqrt3\), \(x=2\sqrt3\) lub \(x=6\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy równanie stopnia trzeciego z czterema wyrazami. Na poziomie podstawowym nie ma gotowego wzoru na pierwiastki takiego równania, więc rozkładamy lewą stronę na czynniki. Cztery wyrazy to sygnał, żeby spróbować metody grupowania.
**Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy parami — dwa pierwsze i dwa ostatnie:
\[(x^3-6x^2)+(-12x+72)=0.\]
**Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy przed nawias \(x^2\):
\[x^3-6x^2=x^2(x-6).\]
**Krok \(4\).** Z drugiej pary wyłączamy \(-12\) — tak dobieramy czynnik, aby w nawiasie powstało to samo, co poprzednio:
\[-12x+72=-12(x-6).\]
**Krok \(5\).** Teraz oba składniki mają wspólny nawias \((x-6)\), więc wyłączamy go przed nawias:
\[x^2(x-6)-12(x-6)=(x-6)(x^2-12)=0.\]
**Krok \(6\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników:
\[x-6=0\quad\text{lub}\quad x^2-12=0.\]
**Krok \(7\).** Z pierwszego równania \(x=6\). Z drugiego \(x^2=12\), czyli \(x=\sqrt{12}\) lub \(x=-\sqrt{12}\).
**Krok \(8\).** Upraszczamy pierwiastek, wyłączając kwadrat spod znaku:
\[\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3.\]
Zatem \(x=2\sqrt3\) lub \(x=-2\sqrt3\).
**Uwaga.** Równanie \(x^2=12\) ma dwa rozwiązania — nie wolno zapomnieć o ujemnym. Pominięcie \(-2\sqrt3\) oznacza utratę punktu, mimo że rozkład na czynniki był poprawny.
**Odpowiedź.** \(x=-2\sqrt3\), \(x=2\sqrt3\) lub \(x=6\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: rozkład (x−6)(x²−12)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
