Zadanie 26 – matura z matematyki sierpień 2013, poziom podstawowy

\(x\in[0,3]\)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa (najwyższa potęga to \(x^2\)). Schemat postępowania jest zawsze ten sam: przenieść wszystko na jedną stronę, znaleźć miejsca zerowe trójmianu, naszkicować parabolę i odczytać z rysunku te \(x\), dla których wykres leży po właściwej stronie osi. **Krok \(2\).** Wszystko jest już po lewej stronie: \(3x-x^2\geq0\). Zamiast liczyć wyróżnik, wyłączamy \(x\) przed nawias: \[3x-x^2=x(3-x).\] **Krok \(3\).** Miejsca zerowe: iloczyn jest zerem, gdy \(x=0\) lub \(3-x=0\), czyli \[x=0\qquad\text{oraz}\qquad x=3.\] **Krok \(4\).** Sprawdzamy, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli. Współczynnik przy \(x^2\) w wyrażeniu \(-x^2+3x\) wynosi \(-1\), a więc jest ujemny — ramiona są skierowane **w dół**. **Krok \(5\).** Parabola o ramionach w dół leży **nad** osią (wartości dodatnie) pomiędzy swoimi miejscami zerowymi, a pod osią na zewnątrz nich. Szukamy wartości nieujemnych, więc bierzemy fragment między \(0\) a \(3\). **Krok \(6\).** Nierówność jest nieostra (\(\geq\)), więc miejsca zerowe też ją spełniają — końce przedziału dołączamy: \[x\in[0,3].\] **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=1\) mamy \(3-1=2\geq0\) (należy), dla \(x=4\) mamy \(12-16=-4\), czyli mniej niż \(0\) (nie należy). **Uwaga.** Przy ujemnym współczynniku przy \(x^2\) rozwiązaniem nierówności \(\geq 0\) jest **odcinek**, a nie suma dwóch półprostych. Odruchowe pisanie \(x\in(-\infty,0]\cup[3,+\infty)\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu. **Odpowiedź.** \(x\in[0,3]\)

1 pkt: miejsca zerowe 0 i 3. 2 pkt: poprawny domknięty przedział [0,3].

Zadanie 26. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.