Zadanie 27 – matura z matematyki sierpień 2012, poziom podstawowy

\(x\in\{-3,\ 3,\ 6\}\)

**Krok \(1\).** To równanie wielomianowe trzeciego stopnia — nie ma na nie gotowego wzoru w tablicach. Standardowa metoda w takiej sytuacji to rozkład lewej strony na czynniki przez grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy dwójkami: \[\left(x^3-6x^2\right)+\left(-9x+54\right)=0.\] **Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^2\), z drugiej \(-9\): \[x^2(x-6)-9(x-6)=0.\] Zwróć uwagę, że z drugiej pary wyłączamy \(-9\), a nie \(9\) — tylko wtedy w nawiasie zostanie \(x-6\), czyli to samo co w pierwszej parze. **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \(x-6\), więc wyłączamy go przed nawias: \[(x-6)\left(x^2-9\right)=0.\] **Krok \(5\).** Drugi nawias to różnica kwadratów: \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Otrzymujemy \[(x-6)(x-3)(x+3)=0.\] **Krok \(6\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem: \[x-6=0\qquad\text{lub}\qquad x-3=0\qquad\text{lub}\qquad x+3=0,\] czyli \(x=6\) lub \(x=3\) lub \(x=-3\). **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-3\): \[(-3)^3-6\cdot(-3)^2-9\cdot(-3)+54=-27-54+27+54=0.\] **Uwaga.** Z rozkładu \(x^2-9\) wychodzą **dwa** rozwiązania: \(3\) i \(-3\). Zatrzymanie się na \(x^2=9\) i zapisanie tylko \(x=3\) gubi jedno rozwiązanie. **Odpowiedź.** \(x=-3\) lub \(x=3\) lub \(x=6\).

1 pkt: rozkład (x−3)(x+3)(x−6)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.

Zadanie 27. (0–2) Rozwiąż równanie x3  6x2  9x  54  0 . Wykorzystanie Rozwiązuje równanie wielomianowe. i interpretowanie reprezentacji Schemat oceniania Zdający otrzymuje ..............................................................................................................1 pkt gdy:  przedstawi lewą stronę równania w postaci iloczynu  x2  9   x  6 lub  x  3  x  3  x  6 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  9x  18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  3 i otrzyma  x2  3x 18  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo  sprawdzi, że liczba 6 jest jednym z rozwiązań równania, podzieli wielomian x3  6x2  9x  54 przez dwumian  x  6 i otrzyma  x2  9  i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje ..............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x  3, x  3, x  6 .