Zadanie 26 – matura z matematyki sierpień 2012, poziom podstawowy

\(x\in(-\infty,1]\cup[7,+\infty)\)

**Krok \(1\).** To nierówność kwadratowa w postaci ogólnej. Schemat postępowania jest zawsze ten sam: znajdujemy miejsca zerowe trójmianu \(x^2-8x+7\), ustalamy, w którą stronę skierowane są ramiona paraboli, i z wykresu odczytujemy, gdzie wartości są nieujemne. **Krok \(2\).** Wypisujemy współczynniki: \(a=1\), \(b=-8\), \(c=7\), i liczymy wyróżnik: \[\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36.\] **Krok \(3\).** Ponieważ \(\Delta\gt0\), są dwa miejsca zerowe. Mamy \(\sqrt{\Delta}=6\), więc \[x_1=\frac{8-6}{2}=1,\qquad x_2=\frac{8+6}{2}=7.\] **Krok \(4\).** Współczynnik \(a=1\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Taka parabola przyjmuje wartości ujemne tylko między miejscami zerowymi, a nieujemne — poza nimi i w samych miejscach zerowych. **Krok \(5\).** Interesuje nas warunek \(\geqslant0\), czyli \[x\leqslant1\quad\text{lub}\quad x\geqslant7.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy odpowiedź przedziałami. Nierówność jest nieostra, więc przedziały są domknięte w \(1\) i w \(7\): \[x\in(-\infty,1]\cup[7,+\infty).\] **Krok \(7\).** Kontrola: dla \(x=0\) mamy \(0-0+7=7\geqslant0\) — zgadza się; dla \(x=4\) mamy \(16-32+7=-9\), czyli wartość ujemna, a \(4\) rzeczywiście leży poza naszym zbiorem. **Uwaga.** Dwa typowe potknięcia: pisanie przedziałów otwartych (znak \(\geqslant\) jest nieostry, więc \(1\) i \(7\) należą do rozwiązania) oraz łączenie przedziałów znakiem części wspólnej — to ma być suma, bo wystarczy, by \(x\) spełniał jeden z dwóch warunków. **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,1]\cup[7,+\infty)\)

1 pkt: miejsca zerowe 1 i 7. 2 pkt: poprawna suma domkniętych przedziałów.

Zadanie 26. (0–2) Rozwiąż nierówność x2  8x  7  0 . Wykorzystanie Rozwiązuje nierówność kwadratową. i interpretowanie reprezentacji Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy:  prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x  1 , x  7 i na tym 1 2 poprzestanie lub dalej popełni błędy albo  rozłoży trójmian kwadratowy x2  8x  7 na czynniki liniowe i zapisze nierówność  x 1  x  7  0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo  popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność albo  doprowadzi nierówność do postaci x  4  3 (na przykład z postaci  x  42  9  0 otrzymuje  x  42  9 , a następnie x  4  3 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci:   ,1  7,   albo  x  1 lub x  7 albo  x  1, x  7 albo  w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwaga: W związku z rozbieżnością w rozumieniu i używaniu spójników w języku potocznym i formalnym języku matematyki akceptujemy zapis, np. x   ,1 i x  7,   . Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x  7 , x  1 i zapisze np. x   , 1  7,  , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty. 2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci  , 7  1,   , to przyznajemy 2 punkty. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy