Nierówności
Zadanie 27, sierpień 2010, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[
x^3-3x^2+2x-6=0.
\]
Odpowiedź
x = \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy równanie wielomianowe stopnia trzeciego. Nie ma wzoru na pierwiastki takiego równania, więc jedyna droga to rozłożyć lewą stronę na czynniki. Cztery wyrazy o parami wspólnych czynnikach to sygnał, że zadziała metoda grupowania wyrazów.
**Krok \(2\).** Grupujemy wyrazy dwójkami — pierwszy z drugim, trzeci z czwartym:
\[(x^3-3x^2)+(2x-6)=0.\]
**Krok \(3\).** Z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik:
\[x^2(x-3)+2(x-3)=0.\]
W obu składnikach pojawił się ten sam nawias \((x-3)\) — to znak, że grupowanie było dobrane trafnie.
**Krok \(4\).** Wyłączamy \((x-3)\) przed nawias:
\[(x-3)\left(x^2+2\right)=0.\]
**Krok \(5\).** Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem:
\[x-3=0\qquad\text{lub}\qquad x^2+2=0.\]
**Krok \(6\).** Pierwsze równanie daje \(x=3\). Drugie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo \(x^2\geqslant0\) dla każdego \(x\), więc \(x^2+2\geqslant2\gt0\) — to wyrażenie nigdy nie jest zerem.
**Krok \(7\).** Sprawdzamy otrzymany pierwiastek: \(3^3-3\cdot3^2+2\cdot3-6=27-27+6-6=0\). Zgadza się.
**Uwaga.** Czynnik \(x^2+2\) trzeba wyraźnie skomentować, a nie po cichu pominąć — dopiero stwierdzenie, że nie ma on pierwiastków rzeczywistych, uzasadnia, że \(x=3\) jest jedynym rozwiązaniem.
**Odpowiedź.** \(x=3\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: rozkład (x²+2)(x−3)=0. 2 pkt: jedyne rzeczywiste rozwiązanie x=3.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wielomianowe przez grupowanie.
