Ciąg arytmetyczny
Zadanie 28, sierpień 2010, poziom podstawowy
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(26\), a suma pięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(70\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Odpowiedź
\(a_{1}\) = \(2\)
Rozwiązanie krok po kroku
Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa pięciokrotności wyrazu środkowego, bo \(a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3\). Zatem
\[S_5=5a_3=70,\qquad a_3=14.\]
Wyrazy \(a_3\) i \(a_5\) dzielą dwa kroki, więc \(a_5=a_3+2r\):
\[26=14+2r,\qquad r=6.\]
Stąd \(a_1=a_3-2r=14-12=2\).
**Odpowiedź.** \(a_1=2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapis zależności dla a₅ i S₅. 2 pkt: a₁=2.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Ciągi – wyznacza pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego z sumy.
