Nierówności
Zadanie 26, sierpień 2010, poziom podstawowy
Rozwiąż nierówność
\[
x^2-14x+24>0.
\]
Odpowiedź
x ∈ (−∞, \(2\)) ∪ (\(12\), ∞)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy nierówność kwadratową \(x^2-14x+24\gt 0\). Schemat jest zawsze taki sam: znajdujemy miejsca zerowe trójmianu, szkicujemy parabolę i z rysunku odczytujemy, dla jakich \(x\) wykres leży po żądanej stronie osi \(Ox\).
**Krok \(2\).** Liczymy wyróżnik trójmianu \(x^2-14x+24\), w którym \(a=1\), \(b=-14\), \(c=24\):
\[\Delta=(-14)^2-4\cdot 1\cdot 24=196-96=100,\qquad \sqrt{\Delta}=10.\]
**Krok \(3\).** Obliczamy miejsca zerowe:
\[x_1=\frac{14-10}{2}=2,\qquad x_2=\frac{14+10}{2}=12.\]
**Krok \(4\).** Współczynnik przy \(x^2\) jest równy \(1\), czyli jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane do góry. Taka parabola leży nad osią \(Ox\) na zewnątrz przedziału wyznaczonego przez pierwiastki, a pod osią między nimi.
**Krok \(5\).** Szukamy wartości dodatnich, czyli części wykresu nad osią. To daje
\[x\in(-\infty,2)\cup(12,\infty).\]
**Uwaga.** Nierówność jest ostra (\(\gt\), a nie \(\ge\)), więc liczby \(2\) i \(12\) nie należą do rozwiązania i przedziały są otwarte. Gdyby w nierówności był znak \(\ge\), do odpowiedzi trzeba by dopisać oba pierwiastki.
**Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,2)\cup(12,\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: miejsca zerowe 2 i 12. 2 pkt: poprawna suma otwartych przedziałów.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.
