Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 6, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[3x^3-6x^2-27x+54=0.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x\in\{-3,2,3\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy i wyłączamy wspólne czynniki:
\[3x^3-6x^2-27x+54=0,\]
\[3x^2(x-2)-27(x-2)=0,\]
\[(x-2)(3x^2-27)=0,\]
\[3(x-2)(x^2-9)=0,\]
\[3(x-2)(x-3)(x+3)=0.\]
Stąd
\[x=2\quad\text{lub}\quad x=3\quad\text{lub}\quad x=-3.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie wszystkich rozwiązań: \(x=-3\), \(x=2\), \(x=3\)
**2 pkt** – rozwiązanie jednego z równań \(x^2-9=0\) albo \(x-2=0\)
**1 pkt** – przekształcenie lewej strony równania do iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych, operowanie nimi i interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5 rozwiązywanie równań wielomianowych \(W(x)=0\) dla wielomianów w postaci iloczynowej lub sprowadzalnych do niej przez wyłączanie wspólnego czynnika albo grupowanie.
