Zadanie 27 – matura z matematyki próbna listopad 2010, poziom podstawowy

\(x=-2\) lub \(x=-\sqrt5\), lub \(x=\sqrt5\).

**Krok \(1\).** Mamy równanie z wielomianem trzeciego stopnia. Nie ma tu prostego wzoru na pierwiastki, więc trzeba rozłożyć lewą stronę na czynniki. Wskazówką jest układ współczynników: \(1\) i \(2\) w pierwszej parze wyrazów oraz \(-5\) i \(-10\) w drugiej są w tej samej proporcji, co zapowiada skuteczne grupowanie wyrazów. **Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy: \[x^3+2x^2-5x-10=\left(x^3+2x^2\right)-\left(5x+10\right).\] **Krok \(3\).** Z każdej grupy wyłączamy wspólny czynnik: \[x^2(x+2)-5(x+2).\] **Krok \(4\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \((x+2)\): \[(x+2)\left(x^2-5\right)=0.\] **Krok \(5\).** Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem: \[x+2=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-5=0.\] **Krok \(6\).** Z pierwszego równania \(x=-2\). Z drugiego \(x^2=5\), czyli \[x=\sqrt5\qquad\text{lub}\qquad x=-\sqrt5.\] **Krok \(7\).** Sprawdzenie dla \(x=-2\): \((-2)^3+2\cdot(-2)^2-5\cdot(-2)-10=-8+8+10-10=0\). Zgadza się. **Uwaga.** Równanie \(x^2=5\) ma dwa rozwiązania, a nie jedno — łatwo zapomnieć o \(-\sqrt5\). Warto też zauważyć, że \(-\sqrt5\approx-2{,}24\), więc wszystkie trzy pierwiastki są różne. **Odpowiedź.** \(x=-\sqrt5\), \(x=-2\) lub \(x=\sqrt5\).

Zadanie 27. (2 pkt) Rozwiąż równanie x 3 + 212 —51—10 = O I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów Stąd x = —2 lub x = —43 lub x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy: • poda poprawną postać iloczynową wielomianu po lewej stronie równania (x + —5) = O lub = O i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • zapisze postać iloczynową z błędem (o ile otrzymany wielomian jest stopnia trzeciego i ma trzy różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązania równania. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —4Š —2, «./Š II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba —2 jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumłan x +2 i otrzymujemy x2 —5. Zapisujemy równanie w postaci Stąd x = —2 lub x lub x =N/Š Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje gdy ...1 pkt • podzieli wielomian + 2x2 —51 10 przez dwumian x +2 otrzymując x2 —5 ina tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo • podzieli wielomian z błędem (o ile otrzymany iloraz jest stopnia drugiego i ma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązanie równama. Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: —43 —2 Uwaga: l. Jeżeli zdający zapisze x(x2 —5) 2(x2 (brak znaku przed liczbą 2) lub x2 (x+ 2) (brak znaku przed liczbą 5) i na tym zakończy, to otrzymuje O punktów. Jeżeli natomiast kontynuuje rozwiązanie i zapisze (x — 5) = 0, to oceniamy to rozwiązanie tak, jakby ten błąd nie wystąpił. 2. Jeśli zdający wykonał dzielenie przez dwumian x — p nie zapisując, że p jest jednym z rozwiązań równania x3 + 2x2 —51—10 = O i w końcowej odpowiedzi pominie pierwiastek p podając tylko pierwiastki trójmianu kwadratowego, to przyznajemy 2 punkty.

Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.