Równania i nierówności
Zadanie 27, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie \(x^3-7x^2+2x-14=0\).
Odpowiedź
\(x=7\).
Rozwiązanie krok po kroku
Lewą stronę rozkładamy na czynniki metodą grupowania:
\[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=(x^{2}+2)(x-7).\]
Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się jeden z czynników. Czynnik \(x^{2}+2\)
jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej, więc pozostaje \(x-7=0\).
**Odpowiedź.** \(x=7\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Stosuję metodę grupowania, by przedstawić lewą stronę równania w postaci iloczynowej:
\[x^{3}-7x^{2}+2x-14=x^{2}(x-7)+2(x-7)=\left(x^{2}+2\right)(x-7).\]
Z równania \(\left(x^{2}+2\right)(x-7)=0\) otrzymujemy, że \(x^{2}+2=0\) lub \(x-7=0\).
Równanie \(x^{2}+2=0\) nie ma rozwiązań. Rozwiązaniem równania \(x-7=0\) jest liczba \(7\).
Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem jest \(x=7\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
