Równania i nierówności
Zadanie 28, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty \(A=(2,5)\) i \(C=(6,7)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).
Odpowiedź
\(y=-2x+14\).
Rozwiązanie krok po kroku
W kwadracie przekątne są prostopadłe i przecinają się w swoim wspólnym środku,
więc prosta \(BD\) jest prostopadła do \(AC\) i przechodzi przez środek odcinka \(AC\).
Współczynnik kierunkowy prostej \(AC\):
\[a_{AC}=\frac{7-5}{6-2}=\frac12,\]
zatem \(a_{BD}=-2\).
Środek odcinka \(AC\):
\[S=\left(\frac{2+6}{2},\frac{5+7}{2}\right)=(4,6).\]
Prosta \(BD\): \(y-6=-2(x-4)\), czyli \(y=-2x+14\).
**Odpowiedź.** \(y=-2x+14\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Obliczam współczynnik kierunkowy prostej \(AC\): \(a_{AC}=\frac{7-5}{6-2}=\frac{1}{2}\), a następnie wyznaczam współczynnik kierunkowy prostej \(BD\) prostopadłej do \(AC\): \(a_{BD}=-2\).
Wyznaczam współrzędne środka \(S\) odcinka \(AC\): \(S=\left(\frac{2+6}{2},\frac{5+7}{2}\right)=(4,6)\) i wyznaczam równanie prostej o współczynniku kierunkowym \(-2\), przechodzącej przez punkt \(S\).
Odpowiedź: \(y=-2x+14\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
