Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, maj 2025, poziom podstawowy
Dana jest nierówność
\[3-2(1-2x)\geq2x-17.\]
Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
**A.** \(( -\infty,3]\)
**B.** \([3,+\infty)\)
**C.** \(( -\infty,-9]\)
**D.** \([-9,+\infty)\)
Odpowiedź
**D.**
\[3-2(1-2x)\geq2x-17\iff1+4x\geq2x-17\iff x\geq-9.\]
Zbiorem rozwiązań jest \([-9,+\infty)\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zwykła nierówność liniowa z nawiasem, tylko odpowiedź trzeba na końcu przełożyć na obrazek na osi liczbowej. Plan: opuszczamy nawias, zbieramy \(x\)-y po jednej stronie, liczby po drugiej, dzielimy przez współczynnik przy \(x\) (pilnując jego znaku) i rysujemy otrzymany zbiór.
**Krok \(2\).** Opuszczamy nawias po lewej stronie. Uwaga na mnożenie przez \(-2\):
\[3-2(1-2x)=3-2+4x=1+4x.\]
**Krok \(3\).** Nierówność przyjmuje postać
\[1+4x\geqslant2x-17.\]
**Krok \(4\).** Odejmujemy \(2x\) od obu stron:
\[1+2x\geqslant-17.\]
**Krok \(5\).** Odejmujemy \(1\) od obu stron:
\[2x\geqslant-18.\]
**Krok \(6\).** Dzielimy przez \(2\). Jest to liczba dodatnia, więc znak nierówności pozostaje bez zmian:
\[x\geqslant-9.\]
**Krok \(7\).** Na osi liczbowej jest to półprosta biegnąca od \(-9\) w prawo, z kółkiem w punkcie \(-9\) **zamalowanym**, bo nierówność jest nieostra. Zbiór zapisujemy jako \([-9,+\infty)\).
**Krok \(8\).** Sprawdzenie dwiema liczbami: dla \(x=0\) lewa strona to \(3-2\cdot1=1\), prawa \(-17\), i istotnie \(1\geqslant-17\); dla \(x=-10\) lewa strona to \(3-2\cdot21=-39\), prawa \(-37\), a \(-39\geqslant-37\) jest fałszem — czyli \(-10\) słusznie nie należy do zbioru rozwiązań.
**Uwaga.** Dwa miejsca, w których najłatwiej się pomylić: znak przy opuszczaniu nawiasu (\(-2\cdot(-2x)=+4x\), a nie \(-4x\)) oraz rodzaj kółka na rysunku — przy \(\geqslant\) koniec przedziału należy do zbioru, więc kółko musi być zamalowane.
**Odpowiedź.** D: \(x\in[-9,+\infty)\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji - interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
III.3) Zdający rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą.
I.6) Zdający posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej.
