Równania i nierówności
Zadanie 9, maj 2024, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[x^3-2x^2-3x+6=0.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x\in\{-\sqrt3,\sqrt3,2\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy:
\[x^3-2x^2-3x+6=x^2(x-2)-3(x-2).\]
Wyłączamy wspólny czynnik:
\[(x-2)(x^2-3)=0.\]
Stąd
\[x-2=0\quad\text{lub}\quad x^2-3=0,\]
czyli
\[x=2\quad\text{lub}\quad x=\sqrt3\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(-\sqrt3,\sqrt3,2\)
**2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci iloczynowej wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań albo wykonanie równoważnej części rozwiązania
**1 pkt** – zapisanie postaci \(x^2(x-2)-3(x-2)\), wyznaczenie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\), które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.
