Równania i nierówności
Zadanie 26, maj 2019, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[(x^3-8)(x^2-4x-5)=0.\]
Odpowiedź
\[x\in\{-1,2,5\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru:
\[x^3-8=0\qquad\text{lub}\qquad x^2-4x-5=0.\]
Pierwsze równanie daje \(x=2\). Drugi trójmian rozkładamy na czynniki:
\[x^2-4x-5=(x-5)(x+1),\]
więc \(x=5\) lub \(x=-1\). Wszystkie rozwiązania to \(-1\), \(2\) i \(5\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\)
**1 pkt** – zapisanie równań \(x^3-8=0\) i \(x^2-4x-5=0\) albo poprawne rozwiązanie jednego z nich
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. wykorzystanie i tworzenie informacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.7 korzystanie z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań wielomianowych.
