Nierówności
Zadanie 27, maj 2019, poziom podstawowy
Rozwiąż nierówność
\[3x^2-16x+16>0.\]
Odpowiedź
\[x\in\left(-\infty,\frac43\right)\cup(4,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy wyróżnik trójmianu:
\[\Delta=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=64.\]
Pierwiastki są równe
\[x_1=\frac{16-8}{6}=\frac43,\qquad x_2=\frac{16+8}{6}=4.\]
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami. Ponieważ nierówność jest ostra, końce nie należą do zbioru rozwiązań:
\[x\in\left(-\infty,\frac43\right)\cup(4,+\infty).\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – podanie pełnego zbioru rozwiązań \(( -\infty,\frac43)\cup(4,+\infty)\)
**1 pkt** – obliczenie miejsc zerowych \(x_1=\frac43\) i \(x_2=4\) albo konsekwentne rozwiązanie nierówności po błędzie rachunkowym prowadzącym do dwóch różnych pierwiastków
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
3.5 rozwiązywanie nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą.
