Równania i nierówności
Zadanie 26, maj 2013, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[x^3+2x^2-8x-16=0.\]
Odpowiedź
\(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + \(2\).
**Krok \(2\).** pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\).
**Odpowiedź.** \(x^{3}\) + \(2\)\(x^{2}\) − \(8x\) − \(16\) = \(x^{2}\)(x + \(2\)) − \(8\)(x + \(2\)) = (x + \(2\))(\(x^{2}\) − \(8\)). Stąd x = −\(2\) lub \(x^{2}\) = \(8\), czyli x ∈ {−\(2\), −\(2\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\)}.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne zapisanie lewej strony w postaci iloczynu, np. (x + 2)(x² − 8), lub poprawne podzielenie wielomianu przez x + 2.
2 pkt: bezbłędne wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, −2√2, 2√2.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (II.3.d).
