Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 27, maj 2013, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia
\[\sin^2\alpha-3\cos^2\alpha.\]
Odpowiedź
\[\sin^{2}\alpha-3\cos^{2}\alpha=0.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z jedynki trygonometrycznej
\[\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha=1-\frac34=\frac14.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha=\tfrac12\) (pierwiastek ujemny odrzucamy), ale do obliczeń wystarczy sam kwadrat.
Zatem
\[\sin^{2}\alpha-3\cos^{2}\alpha=\frac34-3\cdot\frac14=\frac34-\frac34=0.\]
**Odpowiedź.** \(\sin^{2}\alpha-3\cos^{2}\alpha=0\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wyznaczenie cos α = 1/2 lub cos²α = 1/4, ewentualnie równoważny poprawny etap.
2 pkt: obliczenie wartości sin²α − 3cos²α = 0.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości wyrażenia (II.6.c).
