Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 2, maj 2012, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[x^4+x^2\geq2x.\]
Odpowiedź
\[x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,+\infty).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:
\[x^{4}+x^{2}-2x\ge0.\]
Wyłączamy \(x\) przed nawias:
\[x\left(x^{3}+x-2\right)\ge0.\]
Liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(x^{3}+x-2\), bo \(1+1-2=0\), więc
\[x^{3}+x-2=(x-1)\left(x^{2}+x+2\right).\]
Trójmian \(x^{2}+x+2\) ma wyróżnik \(\Delta=1-8=-7<0\) i dodatni współczynnik przy \(x^{2}\), więc jest dodatni dla każdej liczby rzeczywistej. Dzielenie przez niego nie zmienia znaku nierówności, która sprowadza się do
\[x(x-1)\ge0.\]
Parabola \(y=x(x-1)\) ma miejsca zerowe \(0\) i \(1\) oraz ramiona skierowane do góry, więc przyjmuje wartości nieujemne poza przedziałem między nimi.
**Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,0\rangle\cup\langle1,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat oceniania I sposobu rozwiązania*
**1 pkt** – zapisanie wielomianu \(x^{4}+x^{2}-2x\) w postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest \(x\) lub \([\ldots]\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie nierówności w postaci iloczynu czynników stopnia co najwyżej drugiego, np. \(x(x-1)\left(x^{2}+x+2\right)\ge 0\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zauważenie, że rozwiązanie nierówności \(x^{4}+x^{2}\ge 2x\) jest jednocześnie rozwiązaniem nierówności kwadratowej \(x(x-1)\ge 0\); albo narysowanie i uzupełnienie tabeli znaków lub sporządzenie szkicu wykresu wielomianu z uwzględnieniem jego miejsc zerowych.
**Rozwiązanie pełne** – zapisanie zbioru rozwiązań nierówności \(x^{4}+x^{2}\ge 2x\): \(x\in\left(-\infty,0\right\rangle\cup\left\langle 1,+\infty\right)\).
Uwaga: jeśli zdający podzieli nierówność przez \(x\) lub \(x-1\), bez rozpatrzenia odpowiednich przypadków, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów.
*Schemat oceniania II sposobu rozwiązania*
Zdający otrzymuje po \(1\) punkcie za rozwiązanie nierówności w każdym z trzech przedziałów. Czwarty punkt zdający otrzymuje za podanie odpowiedzi końcowej.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie nierówności wielomianowej. (IV.3.c.R)
