Liczby rzeczywiste
Zadanie 1, maj 2012, poziom rozszerzony
Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.
Odpowiedź
Szukane liczby to \(-1,\ 0,\ 1,\ 2\). Jeśli \(a\) jest najmniejszą z nich, to warunek zadania daje równanie \(a+3=a^2+(a+1)^2+(a+2)^2\), czyli \(3a^2+5a+2=0\); jego pierwiastkami są \(-1\) oraz \(-\frac23\), a warunek całkowitości spełnia tylko \(a=-1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Sformułowanie *cztery kolejne liczby całkowite* podpowiada oznaczenie: wystarczy jedna niewiadoma, bo każda następna liczba jest o \(1\) większa. Warunek z treści przełożymy na równanie, które okaże się kwadratowe.
**Krok \(2\).** Niech \(a\) będzie najmniejszą z tych liczb, \(a\in\mathbb{Z}\). Kolejne to \(a+1\), \(a+2\), \(a+3\), przy czym największa z nich to \(a+3\).
**Krok \(3\).** Warunek zadania (największa liczba równa sumie kwadratów trzech pozostałych) zapisujemy jako
\[a+3=a^2+(a+1)^2+(a+2)^2.\]
**Krok \(4\).** Rozwijamy kwadraty po prawej stronie:
\[a^2+\left(a^2+2a+1\right)+\left(a^2+4a+4\right)=3a^2+6a+5.\]
**Krok \(5\).** Przenosimy wszystko na jedną stronę i redukujemy wyrazy podobne:
\[a+3=3a^2+6a+5,\qquad 0=3a^2+5a+2.\]
**Krok \(6\).** Rozwiązujemy równanie kwadratowe \(3a^2+5a+2=0\):
\[\Delta=5^2-4\cdot3\cdot2=25-24=1,\qquad\sqrt\Delta=1,\]
\[a_1=\frac{-5-1}{6}=-1,\qquad a_2=\frac{-5+1}{6}=-\frac23.\]
**Krok \(7\).** Liczba \(-\frac23\) nie jest całkowita, a treść wymaga liczb całkowitych — odrzucamy ten pierwiastek. Zostaje \(a=-1\).
**Krok \(8\).** Szukane liczby to \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\). Sprawdzenie: \((-1)^2+0^2+1^2=1+0+1=2\), a największa z tych liczb to właśnie \(2\).
**Uwaga.** Odrzucenie pierwiastka \(-\frac23\) jest pełnoprawną częścią rozwiązania, a nie formalnością — bez uzasadnienia, że musi być \(a\in\mathbb{Z}\), zadanie miałoby dwie czwórki liczb.
**Odpowiedź.** Szukane liczby to \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie, że szukane liczby to: \(a\), \(a+1\), \(a+2\), \(a+3\), gdzie \(a\) jest liczbą całkowitą.
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą: \(a+3=a^{2}+(a+1)^{2}+(a+2)^{2}\) lub \(3a^{2}+5a+2=0\).
**3 pkt** – przekształcenie równania \(a+3=a^{2}+(a+1)^{2}+(a+2)^{2}\) do postaci równania kwadratowego z błędem rachunkowym (na przykład błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste); albo poprawne rozwiązanie równania kwadratowego \(3a^{2}+5a+2=0\), nieodrzucenie rozwiązania \(-\frac{2}{3}\) i podanie w odpowiedzi dwóch czwórek liczb.
**4 pkt** – zapisanie czwórki liczb całkowitych spełniających warunki zadania: \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\).
Uwagi: jeżeli zdający źle zinterpretuje treść zadania, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów. Jeśli zdający bez wykonywania rachunków poda odpowiedź i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje \(1\) punkt.
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania prowadzącego do równania kwadratowego. (III.3.b)
