Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 4, maj 2012, poziom rozszerzony
Oblicz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^2-(m+2)x+m+4=0\]
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1,x_2\) takie, że
\[x_1^4+x_2^4=4m^3+6m^2-32m+12.\]
Odpowiedź
\(m=-\sqrt{14}\) lub \(m=\sqrt{14}\). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(\Delta=m^{2}-12\gt 0\), a ze wzorów Viète'a \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16\). Porównanie z prawą stroną prowadzi do \(\left(m^{2}-6\right)^{2}=64\), czyli \(m^{2}=14\); obie wartości spełniają \(\Delta\gt 0\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: nie wyznaczamy pierwiastków, tylko wyrażamy \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}\) przez sumę i iloczyn pierwiastków (wzory Viète'a), a istnienie dwóch różnych pierwiastków zapisujemy warunkiem \(\Delta\gt 0\).
**Krok \(2\).** Dla równania \(x^{2}-(m+2)x+m+4=0\) mamy
\[\Delta=(m+2)^{2}-4(m+4)=m^{2}+4m+4-4m-16=m^{2}-12,\]
więc warunek dwóch różnych pierwiastków rzeczywistych to \(m^{2}-12\gt 0\).
**Krok \(3\).** Ze wzorów Viète'a: \(x_{1}+x_{2}=m+2\) oraz \(x_{1}x_{2}=m+4\).
**Krok \(4\).** Obliczamy sumę kwadratów:
\[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(m+2)^{2}-2(m+4)=m^{2}+2m-4.\]
**Krok \(5\).** Tę samą sztuczkę stosujemy jeszcze raz, tym razem do kwadratów:
\[x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}\right)^{2}=\left(m^{2}+2m-4\right)^{2}-2(m+4)^{2}.\]
**Krok \(6\).** Rozwijamy oba składniki:
\[\left(m^{2}+2m-4\right)^{2}=m^{4}+4m^{3}-4m^{2}-16m+16,\qquad 2(m+4)^{2}=2m^{2}+16m+32,\]
skąd
\[x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16.\]
**Krok \(7\).** Porównujemy z warunkiem zadania:
\[m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16=4m^{3}+6m^{2}-32m+12,\]
czyli po redukcji \(m^{4}-12m^{2}-28=0\).
**Krok \(8\).** Zauważamy, że \(m^{4}-12m^{2}+36=\left(m^{2}-6\right)^{2}\), więc równanie zapisujemy jako
\[\left(m^{2}-6\right)^{2}=64,\qquad m^{2}-6=8\ \ \text{lub}\ \ m^{2}-6=-8.\]
**Krok \(9\).** Stąd \(m^{2}=14\) albo \(m^{2}=-2\); drugi przypadek jest niemożliwy. Zatem \(m=\sqrt{14}\) lub \(m=-\sqrt{14}\).
**Krok \(10\).** Sprawdzamy warunek z Kroku \(2\): dla \(m^{2}=14\) mamy \(\Delta=14-12=2\gt 0\), więc oba pierwiastki istnieją i są różne.
**Uwaga.** Warunku \(\Delta\gt 0\) nie wolno pominąć: równanie z Kroku \(7\) jest tylko konsekwencją warunku na pierwiastki i samo z siebie nie gwarantuje, że pierwiastki są rzeczywiste.
**Odpowiedź.** \(m=-\sqrt{14}\) lub \(m=\sqrt{14}\).
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch części.
**Pierwsza część (1 punkt)** – rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\), gdzie \(\Delta=m^{2}-12\): \(\Delta>0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(m^{2}-12>0\).
**Druga część (4 punkty)** – polega na doprowadzeniu równania \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=4m^{3}+6m^{2}-32m+12\) do postaci równania ze zmienną \(m\) i rozwiązanie tego równania. W ramach tej części wyróżniamy następujące fazy:
**1 pkt** – wyznaczenie \(x_{1}\) i \(x_{2}\).
**2 pkt** – wyznaczenie \(x_{1}^{2}\) i \(x_{2}^{2}\).
**3 pkt** – wyznaczenie \(x_{1}^{4}\) i \(x_{2}^{4}\) i zapisanie równości \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=m^{4}+4m^{3}-6m^{2}-32m-16\).
**4 pkt** – rozwiązanie równania \(m^{4}-12m^{2}-28=0\).
**6 pkt** – poprawne rozwiązanie równania z uwzględnieniem warunku \(\Delta>0\).
Przyznajemy \(1\) punkt za wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności \(\Delta>0\) z etapu a) i równania \(m^{4}-12m^{2}+36=64\) z etapu b), gdy co najmniej jeden etap jest rozwiązany poprawnie.
Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu poda rozwiązanie, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(5\) punktów.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków. (IV.3.b.R)
