Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 27, maj 2010, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[
x^3-7x^2-4x+28=0.
\]
Odpowiedź
\[x\in\{-2,2,7\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy parami i wyłączamy wspólne czynniki:
\[x^{3}-7x^{2}-4x+28=x^{2}(x-7)-4(x-7)=(x-7)\left(x^{2}-4\right).\]
Do drugiego czynnika stosujemy wzór na różnicę kwadratów:
\[(x-7)(x-2)(x+2)=0.\]
Iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, więc
\[x=7\quad\text{lub}\quad x=2\quad\text{lub}\quad x=-2.\]
**Odpowiedź.** \(x\in\{-2,2,7\}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: pogrupowanie wyrazów do postaci prowadzącej do rozkładu na czynniki albo poprawne podzielenie wielomianu przez jeden z dwumianów x − 2, x + 2 lub x − 7.
2 pkt: wyznaczenie wszystkich rozwiązań: −2, 2 i 7.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i tworzenie informacji. Rozwiązanie równania wielomianowego.
