Trójkąty
Zadanie 28, maj 2010, poziom podstawowy
Trójkąty prostokątne równoramienne \(ABC\) i \(CDE\) są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku \(C\) jest prosty). Wykaż, że \(|AD|=|BE|\).
Odpowiedź
Trójkąty ACD i BCE są przystające: AC = BC oraz CD = CE, ponieważ ABC i CDE są równoramienne, a ∠ACD = \(90\)° − ∠DCB = ∠BCE. Z cechy bok–kąt–bok wynika AD = BE.
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że oba trójkąty mają wspólny wierzchołek \(C\), a punkty \(D\) i \(E\) leżą wewnątrz kąta \(ACB\).
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny równoramienny o kącie prostym przy \(C\), więc \(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\). Tak samo \(\lvert CD\rvert=\lvert CE\rvert\).
Kąty \(ACB\) i \(DCE\) są proste, a kąt \(DCB\) jest ich częścią wspólną, zatem
\[\lvert\angle ACD\rvert=90^\circ-\lvert\angle DCB\rvert=\lvert\angle BCE\rvert.\]
Trójkąty \(ACD\) i \(BCE\) mają więc po dwa boki równe (\(\lvert CA\rvert=\lvert CB\rvert\), \(\lvert CD\rvert=\lvert CE\rvert\)) i równe kąty między nimi, są zatem przystające (cecha bok-kąt-bok). Odpowiadające sobie boki przystających trójkątów są równe, więc
\[\lvert AD\rvert=\lvert BE\rvert,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** \(\lvert AD\rvert=\lvert BE\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie, że trójkąty ACD i BCE są przystające, i wyprowadzenie wniosku AD = BE, albo wskazanie AC = BC, CD = CE oraz ∠ACD = ∠BCE.
2 pkt: pełne uzasadnienie przystawania trójkątów, w tym równości kątów ACD i BCE, oraz wniosek AD = BE.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Przeprowadzenie dowodu geometrycznego składającego się z niewielkiej liczby kroków.
