Nierówności
Zadanie 5, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Dana jest nierówność
\[8-\frac{1-2x}{2}\geq3x.\]
Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest
**A.** \(1\)
**B.** \(2\)
**C.** \(3\)
**D.** \(4\)
Odpowiedź
**C.** Nierówność jest równoważna \(16-(1-2x)\geq6x\), czyli \(15\geq4x\). Stąd \(x\leq\frac{15}{4}\), więc największą całkowitą wartością jest \(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Najpierw rozwiązujemy nierówność, a dopiero potem szukamy największej liczby całkowitej w otrzymanym zbiorze. Kłopotliwy jest ułamek, więc na start mnożymy obie strony przez \(2\). Mnożymy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności zostaje bez zmian.
**Krok \(2\).** Mnożymy przez \(2\):
\[16-(1-2x)\geq6x.\]
**Krok \(3\).** Opuszczamy nawias poprzedzony minusem, zmieniając znaki obu wyrazów w środku:
\[16-1+2x\geq6x,\qquad\text{czyli}\qquad 15+2x\geq6x.\]
**Krok \(4\).** Przenosimy \(2x\) na prawą stronę:
\[15\geq4x.\]
**Krok \(5\).** Dzielimy przez \(4\) (liczba dodatnia, znak bez zmian):
\[x\leq\frac{15}{4}=3{,}75.\]
**Krok \(6\).** Największą liczbą całkowitą nie większą niż \(3{,}75\) jest \(3\). Sprawdzamy: dla \(x=3\) lewa strona wyjściowej nierówności wynosi \(8-\frac{1-6}{2}=8+2{,}5=10{,}5\), a prawa \(9\), więc nierówność jest spełniona. Dla \(x=4\) lewa strona to \(8+3{,}5=11{,}5\), a prawa \(12\) - nierówność nie zachodzi.
**Uwaga.** Odpowiedzią nie jest \(3{,}75\), tylko największa liczba całkowita spełniająca nierówność. Pamiętajmy też, że gdybyśmy mnożyli lub dzielili obie strony przez liczbę ujemną, znak nierówności trzeba by odwrócić - tutaj taka sytuacja nie wystąpiła.
**Odpowiedź.** C, czyli \(3\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: 3.3) Rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
