Równania i nierówności
Zadanie 10, czerwiec 2024, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[4x^3-12x^2-x+3=0.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy:
\[4x^3-12x^2-x+3=4x^2(x-3)-(x-3).\]
Wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzór na różnicę kwadratów:
\[(x-3)(4x^2-1)=0,\]
\[(x-3)(2x-1)(2x+1)=0.\]
Stąd
\[x=3\quad\text{lub}\quad x=\frac12\quad\text{lub}\quad x=-\frac12.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wyznaczenie wszystkich rozwiązań: \(x\in\left\{-\frac12,\frac12,3\right\}\)
**2 pkt** – sprowadzenie równania do postaci iloczynowej wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z powstałych równań albo wykonanie równoważnej części rozwiązania
**1 pkt** – przekształcenie wielomianu do postaci \(4x^2(x-3)-(x-3)\), \(x(4x^2-1)-3(4x^2-1)\), zapisanie jednego rozwiązania albo wykonanie równoważnego istotnego kroku
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
III.5) Zdający rozwiązuje równania wielomianowe postaci \(W(x)=0\) dla wielomianów zapisanych w postaci iloczynowej lub takich, które dają się sprowadzić do postaci iloczynowej metodą grupowania.
