Nierówności
Zadanie 3, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Jedną z liczb spełniających nierówność \(( x - 6 ) \cdot ( x - 2 )2 \cdot ( x + 4 ) \cdot ( x + 10 ) > 0\) jest
A.
−\(5\)
B. \(0\) C. \(3\) D. \(5\)
Odpowiedź
A. \(-5\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Lewa strona jest już rozłożona na czynniki, a pytanie brzmi tylko: która z czterech podanych liczb spełnia nierówność. Nie trzeba więc rozwiązywać nierówności — wystarczy dla każdego kandydata zbadać **znak** iloczynu, bez liczenia jego wartości.
**Krok \(2\).** Najpierw upraszczamy sobie pracę. Czynnik \((x-2)^2\) jest kwadratem, więc dla \(x\neq2\) jest dodatni i nie wpływa na znak całości. O znaku decydują trzy czynniki: \(x-6\), \(x+4\), \(x+10\). Iloczyn jest dodatni, gdy liczba czynników ujemnych jest parzysta.
**Krok \(3\).** Sprawdzamy \(x=-5\):
\[x-6=-11\ (\text{minus}),\qquad x+4=-1\ (\text{minus}),\qquad x+10=5\ (\text{plus}).\]
Dwa minusy, czyli parzyście — iloczyn tych trzech czynników jest dodatni. Kwadrat \((-5-2)^2=49\) też jest dodatni, więc całe wyrażenie jest większe od zera. Ta liczba spełnia nierówność.
**Krok \(4\).** Dla porządku pozostałe liczby:
- \(x=0\): \((-6)\cdot(+4)\cdot(+10)\) — jeden minus, iloczyn ujemny,
- \(x=3\): \((-3)\cdot(+7)\cdot(+13)\) — jeden minus, iloczyn ujemny,
- \(x=5\): \((-1)\cdot(+9)\cdot(+15)\) — jeden minus, iloczyn ujemny.
**Krok \(5\).** Jedyną liczbą spełniającą nierówność jest więc \(-5\).
**Uwaga.** Czynnik \((x-2)^2\) nigdy nie zmienia znaku iloczynu, ale zeruje go dla \(x=2\) — przy nierówności ostrej liczba \(2\) nie należy do zbioru rozwiązań. Traktowanie kwadratu jak zwykłego czynnika (zmieniającego znak) jest tu najczęstszym błędem.
**Odpowiedź.** A: \(-5\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 3.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
