Nierówności
Zadanie 10, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Równanie \(x ( x - 3 )( x^{2} + 25 ) = 0\) ma dokładnie
A. cztery rozwiązania: \(x = 0 , x = 3 , x = 5 , x = -5\)
B. trzy rozwiązania: \(x = 3 , x = 5 , x = -5\)
C. dwa rozwiązania: \(x = 0 , x = 3\)
D. jedno rozwiązanie: \(x = 3\)
Odpowiedź
**C.** dwa rozwiązania: \(x = 0 , x = 3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Po lewej stronie mamy iloczyn trzech czynników, a po prawej zero. Korzystamy z zasady: iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **przynajmniej jeden** z czynników jest zerem. Rozbijamy więc zadanie na trzy proste równania.
**Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \(x=0\). To już jest rozwiązanie.
**Krok \(3\).** Drugi czynnik: \(x-3=0\), czyli \(x=3\).
**Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \(x^{2}+25=0\), czyli \(x^{2}=-25\). Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc to równanie **nie ma** rozwiązań. Inaczej: dla każdego \(x\) zachodzi \(x^{2}\geq0\), więc \(x^{2}+25\geq25 \gt 0\).
**Krok \(5\).** Zbieramy: równanie ma dokładnie dwa rozwiązania, \(x=0\) oraz \(x=3\).
**Uwaga.** Wyrażenie \(x^{2}+25\) to **suma** kwadratów i nie da się jej rozłożyć — liczby \(5\) i \(-5\) pojawiłyby się dopiero przy \(x^{2}-25\). Na tym oparte są nieprawdziwe odpowiedzi A i B.
**Odpowiedź.** C: dwa rozwiązania, \(x=0\) i \(x=3\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 10.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2017 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
