Nierówności
Zadanie 7, czerwiec 2016, poziom podstawowy
( ) ( )
Spośród liczb, które są rozwiązaniami równania \(( x - 8 ) x^{2} - 4 x^{2} +16 = 0\), wybrano
największą i najmniejszą. Suma tych dwóch liczb jest równa
A. \(12\) B. \(10\) C. \(6\) D. \(4\)
Odpowiedź
C
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy postać równania: lewa strona jest już rozłożona na czynniki, a prawa to zero. Równanie
\[(x-8)\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+16\right)=0\]
rozwiązujemy więc, przyrównując do zera **każdy** czynnik osobno — iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem.
**Krok \(2\).** Pierwszy czynnik: \(x-8=0\), czyli \(x=8\).
**Krok \(3\).** Drugi czynnik: \(x^{2}-4=0\), czyli \(x^{2}=4\). Stąd \(x=2\) lub \(x=-2\) (pamiętamy o obu znakach).
**Krok \(4\).** Trzeci czynnik: \(x^{2}+16=0\), czyli \(x^{2}=-16\). Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny, więc ten czynnik **nie daje żadnego rozwiązania**.
**Krok \(5\).** Zbieramy wszystkie rozwiązania: \(x\in\{-2,\;2,\;8\}\). Największa z nich to \(8\), najmniejsza to \(-2\).
**Krok \(6\).** Liczymy żądaną sumę:
\[8+(-2)=6.\]
**Uwaga.** Czynnika \(x^{2}+16\) nie wolno traktować jak różnicy kwadratów i dopisywać pierwiastków \(x=\pm4\); sprawdzenie: \(4^{2}+16=32\), a nie \(0\). Uważaj też, że najmniejszym rozwiązaniem jest \(-2\), a nie \(2\) — liczba ujemna jest mniejsza od dodatniej.
**Odpowiedź.** C: \(6\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 7.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
