Nierówności
Zadanie 27, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[3x^3-4x^2-3x+4=0.\]
Odpowiedź
\(x=-1\), \(x=1\) lub \(x=\frac{4}{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ równania: to równanie wielomianowe stopnia trzeciego zapisane jako suma czterech jednomianów. Nie ma tu wzoru na pierwiastki takiego równania, więc stosujemy standardową metodę dla czterech składników — **grupowanie wyrazów parami** i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias.
**Krok \(2\).** Grupujemy pierwsze dwa i ostatnie dwa wyrazy:
\[3x^{3}-4x^{2}-3x+4=\left(3x^{3}-4x^{2}\right)+\left(-3x+4\right).\]
**Krok \(3\).** Z pierwszej pary wyłączamy \(x^{2}\):
\[3x^{3}-4x^{2}=x^{2}(3x-4).\]
**Krok \(4\).** Z drugiej pary chcemy dostać ten sam nawias \((3x-4)\), więc wyłączamy \(-1\):
\[-3x+4=-(3x-4).\]
**Krok \(5\).** Teraz wspólnym czynnikiem jest \((3x-4)\):
\[x^{2}(3x-4)-(3x-4)=(3x-4)\left(x^{2}-1\right).\]
**Krok \(6\).** Drugi nawias rozkładamy wzorem na różnicę kwadratów \(a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\):
\[x^{2}-1=(x-1)(x+1).\]
Równanie przyjmuje postać
\[(3x-4)(x-1)(x+1)=0.\]
**Krok \(7\).** Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem:
\[3x-4=0\quad\text{lub}\quad x-1=0\quad\text{lub}\quad x+1=0.\]
**Krok \(8\).** Rozwiązujemy każde z tych równań: \(3x=4\), czyli \(x=\frac43\); dalej \(x=1\) oraz \(x=-1\).
**Uwaga.** Nie wolno tu skracać ani dzielić przez \(x\) czy przez \((3x-4)\) — dzieląc przez wyrażenie z niewiadomą, gubi się część rozwiązań. Rozkład na czynniki i przyrównanie każdego z nich do zera daje komplet pierwiastków.
**Odpowiedź.** \(x=-1\), \(x=1\) lub \(x=\frac43\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: rozkład (3x−4)(x²−1)=0. 2 pkt: wszystkie trzy rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 27. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
