Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 28, czerwiec 2013, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{4}.\]
Oblicz wartość wyrażenia
\[2+\sin^3\alpha+\sin\alpha\cdot\cos^2\alpha.\]
Odpowiedź
\[2+\sin^{3}\alpha+\sin\alpha\cos^{2}\alpha=\frac{11}{4}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W dwóch ostatnich składnikach wyłączamy \(\sin\alpha\) przed nawias i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\[\sin^{3}\alpha+\sin\alpha\cos^{2}\alpha=\sin\alpha\left(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha\right)=\sin\alpha.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\sin\alpha>0\) i
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{7}{16}}=\frac34.\]
Zatem całe wyrażenie jest równe \(2+\tfrac34=\tfrac{11}{4}\).
**Odpowiedź.** \(\dfrac{11}{4}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: sprowadzenie wyrażenia do 2+sin α albo obliczenie sin α=3/4. 2 pkt: wynik 11/4.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 28. Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.
