Nierówności
Zadanie 27, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[
x^3+2x^2-5x-10=0.
\]
Odpowiedź
x ∈ {−\(2\), −√\(5\), √\(5\)}
Rozwiązanie krok po kroku
Wyjaśnienie:
Krok \(1\). Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
\[x^3+2x^2-5x-10=0 \\
x^2(x+2)-5(x-2)=0 \\
(x+2)(x^2-5)=0\]
Krok \(2\). Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne.
\[x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}\]
Klucz i zasady oceniania
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje równanie wielomianowe przez rozkład na czynniki.
