Trójkąty
Zadanie 29, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Dany jest prostokąt \(ABCD\). Okręgi o średnicach \(AB\) i \(AD\) przecinają się w punktach \(A\) i \(P\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \(B\), \(P\) i \(D\) leżą na jednej prostej.
Odpowiedź
Punkty \(B\), \(P\) i \(D\) leżą na jednej prostej.
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że oba okręgi przechodzą przez wierzchołek \(A\) prostokąta: jeden ma średnicę \(AD\), drugi średnicę \(AB\); ich drugim punktem wspólnym jest \(P\).
Kąt \(APD\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy \(AD\), więc
\[\lvert\angle APD\rvert=90^\circ.\]
Kąt \(APB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy \(AB\), więc
\[\lvert\angle APB\rvert=90^\circ.\]
Punkty \(B\) i \(D\) leżą po przeciwnych stronach prostej \(AP\), zatem kąty \(APD\) i \(APB\) nie nakładają się i
\[\lvert\angle DPB\rvert=\lvert\angle APD\rvert+\lvert\angle APB\rvert=90^\circ+90^\circ=180^\circ.\]
Kąt \(DPB\) jest więc kątem półpełnym, co oznacza, że punkty \(B\), \(P\), \(D\) są współliniowe.
**Odpowiedź.** Punkty \(B\), \(P\) i \(D\) leżą na jednej prostej.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zauważenie, że \(\lvert\angle APD\rvert=90^\circ\) oraz \(\lvert\angle APB\rvert=90^\circ\).
**2 pkt** – uzasadnienie obu równości i wywnioskowanie współliniowości punktów \(B\), \(P\), \(D\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 29. (0–2)
**Wymaganie ogólne:** rozumowanie i argumentacja.
**Wymaganie szczegółowe:** korzystanie z twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy okręgu.
