![Rozwiązanie zadania 26, matura z matematyki czerwiec 2010, poziom podstawowy: Rozwiąż nierówność x²+11x+30≤slant0. Odpowiedź: x ∈ [− 6, − 5 ]](rozwiazanie.webp)
Nierówności
Zadanie 26, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Rozwiąż nierówność
\[
x^2+11x+30\leqslant0.
\]
Odpowiedź
x ∈ [−\(6\), −\(5\)]
Rozwiązanie krok po kroku
Wyjaśnienie:
Krok \(1\). Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=11,\;c=30\)
\[Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1\]
\[x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-1}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+1}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5\]
Krok \(2\). Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Wykres będzie miał więc następującą postać:
Punkty \(x=-6\) oraz \(x=-5\) muszą mieć koniecznie zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).
Krok \(3\). Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesuje nas zbiór argumentów, dla których wartość funkcji kwadratowej jest mniejsza lub równa zero (czyli w których miejscach wykres funkcji jest pod osią \(Ox\) lub dokładnie na osi). Tym zbiorem jest oczywiście: \(x\in\langle-6;-5\rangle\).
Klucz i zasady oceniania
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje nierówność kwadratową.
