Inne zagadnienia
Zadanie 22, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[
x^3-4x^2-3x+12=0.
\]
Odpowiedź
\[x=-\sqrt3,\qquad x=\sqrt3,\qquad x=4.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy wielomianu i wyłączamy wspólne czynniki:
\[x^3-4x^2-3x+12=x^{2}(x-4)-3(x-4)=(x-4)\left(x^{2}-3\right).\]
Drugi czynnik rozkładamy jako różnicę kwadratów:
\[x^{2}-3=\left(x-\sqrt3\right)\left(x+\sqrt3\right).\]
Zatem
\[(x-4)\left(x-\sqrt3\right)\left(x+\sqrt3\right)=0.\]
Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników, więc
\[x=4\quad\text{lub}\quad x=\sqrt3\quad\text{lub}\quad x=-\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(x=-\sqrt3\), \(x=\sqrt3\), \(x=4\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i podanie wszystkich trzech rozwiązań: \(-\sqrt3\), \(\sqrt3\), \(4\)
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wielomianowego przez grupowanie wyrazów i rozkład na czynniki, w tym z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratów.
