Inne zagadnienia
Zadanie 21, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
Punkty \(A=(-3,-5)\), \(B=(4,-1)\) i \(C=(-2,3)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Oblicz długość ramienia tego trójkąta.
Odpowiedź
Ramię ma długość \(\sqrt{65}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy kwadraty długości wszystkich boków, korzystając ze wzoru
\[|PQ|^{2}=(x_Q-x_P)^{2}+(y_Q-y_P)^{2}.\]
Dla \(A=(-3,-5)\), \(B=(4,-1)\), \(C=(-2,3)\):
\[|AB|^{2}=(4-(-3))^{2}+(-1-(-5))^{2}=7^{2}+4^{2}=49+16=65,\]
\[|AC|^{2}=(-2-(-3))^{2}+(3-(-5))^{2}=1^{2}+8^{2}=1+64=65,\]
\[|BC|^{2}=(-2-4)^{2}+(3-(-1))^{2}=(-6)^{2}+4^{2}=36+16=52.\]
Równe są długości \(|AB|\) i \(|AC|\), więc to one są ramionami, a \(BC\) jest podstawą. Zatem
\[|AB|=|AC|=\sqrt{65}.\]
**Odpowiedź.** Ramię trójkąta ma długość \(\sqrt{65}\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody, wskazanie ramion i poprawny wynik: \(|AB|=|AC|=\sqrt{65}\)
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** obliczanie odległości punktów w układzie współrzędnych i rozpoznawanie ramion trójkąta równoramiennego przez porównanie długości boków.
