Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 23, arkusz pokazowy 2010 P2, poziom podstawowy
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości \(2\) i \(4\), a jeden z kątów ostrych ma miarę \(\alpha\). Oblicz \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\).
Odpowiedź
\[\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\frac25.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość
\[c=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\]
Niech \(\alpha\) będzie kątem ostrym leżącym naprzeciw przyprostokątnej długości \(2\). Wtedy
\[\sin\alpha=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5},\qquad \cos\alpha=\frac{4}{2\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}.\]
Stąd
\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac{2}{5}.\]
Dla drugiego kąta ostrego iloczyn jest taki sam, bo zamienia się jedynie rolami sinus z cosinusem.
**Odpowiedź.** \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac25\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2010: arkusz CKE nie podaje przy tym zadaniu wymagania podstawy programowej.
