Inne zagadnienia
Zadanie 27, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy
Rozwiąż równanie
\[
x^3-12x^2+x-12=0.
\]
Odpowiedź
\(x=12\)
Rozwiązanie krok po kroku
Grupujemy wyrazy wielomianu i wyłączamy wspólne czynniki:
\[x^3-12x^2+x-12=x^{2}(x-12)+(x-12)=(x-12)\left(x^{2}+1\right).\]
Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy zeruje się jeden z czynników. Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) mamy \(x^{2}\geq0\), więc
\[x^{2}+1\geq1>0\]
i drugi czynnik nigdy się nie zeruje. Pozostaje
\[x-12=0,\qquad x=12.\]
**Odpowiedź.** \(x=12\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody, poprawny wynik \(x=12\) oraz uzasadnienie, że czynnik \(x^{2}+1\) nie ma pierwiastków rzeczywistych
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** rozwiązywanie równania wielomianowego przez grupowanie wyrazów oraz uzasadnianie, że czynnik kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych.
