Inne zagadnienia
Zadanie 28, arkusz pokazowy 2010 P1, poziom podstawowy
Punkt \(E\) leży na ramieniu \(BC\) trapezu \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Udowodnij, że
\[
|\angle AED|=|\angle BAE|+|\angle CDE|.
\]
Odpowiedź
Równość \(|\angle AED|=|\angle BAE|+|\angle CDE|\) zachodzi dla każdego punktu \(E\) leżącego na ramieniu \(BC\) trapezu \(ABCD\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przez punkt \(E\) prowadzimy prostą \(k\) równoległą do podstawy \(AB\). Ponieważ \(AB\parallel CD\), prosta \(k\) jest równoległa także do \(CD\). Punkt \(E\) leży na ramieniu \(BC\), więc prosta \(k\) przebiega między podstawami: półprosta \(EA\) leży po stronie podstawy \(AB\), a półprosta \(ED\) — po stronie podstawy \(CD\). Prosta \(k\) leży zatem wewnątrz kąta \(AED\) i dzieli go na dwa kąty:
\[|\angle AED|=|\angle AEk|+|\angle kED|,\]
gdzie \(\angle AEk\) oznacza kąt między półprostą \(EA\) a tą półprostą prostej \(k\), która jest skierowana zgodnie z półprostą \(AB\), a \(\angle kED\) — kąt między półprostą \(ED\) a przeciwną półprostą prostej \(k\).
Prosta \(AE\) przecina proste równoległe \(AB\) i \(k\), więc kąty \(BAE\) i \(AEk\) są kątami naprzemianległymi wewnętrznymi:
\[|\angle AEk|=|\angle BAE|.\]
Analogicznie prosta \(DE\) przecina proste równoległe \(CD\) i \(k\), więc kąty \(CDE\) i \(kED\) są naprzemianległe wewnętrzne:
\[|\angle kED|=|\angle CDE|.\]
Podstawiając obie równości, otrzymujemy
\[|\angle AED|=|\angle BAE|+|\angle CDE|.\]
**Odpowiedź.** \(|\angle AED|=|\angle BAE|+|\angle CDE|\), co należało udowodnić.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego, poprawnego dowodu, w tym poprowadzenie przez punkt \(E\) prostej równoległej do podstaw i powołanie się na równość kątów naprzemianległych
**Uwaga:** Centralna Komisja Egzaminacyjna nie opublikowała dla tego arkusza pokazowego schematu oceniania z progami cząstkowymi. Podana punktacja całkowita pochodzi z arkusza.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** przeprowadzanie dowodu geometrycznego z wykorzystaniem własności kątów utworzonych przez prostą przecinającą dwie proste równoległe.
